【受験生応援企画!】SAT Subject Test: Physics

今回はSAT Subject TestのPhysicsを紹介したいと思います!

【出題範囲】

SAT Physicsは基本的に出題範囲が日本の教育課程とかなり似ているので、全てを1から学び直す必要はありません。しかし、以下に示している通り、一部理系しか習わない範囲または日本の中高では扱わないものもありますので、対策を書いておきました。括弧内に、その範囲を学校で習わない生徒の区分(文系・理系)を書いています。ただし、(文系)となっているところも、文系で高2などで物理基礎を選択した人はやっているかもしれません。詳しくは普段使っている物理基礎の教科書で確認してください。また、日本の理系の範囲に入っていても高3で学ぶ内容は、Subject Testを高2で受験する場合はまだ未習である可能性があるので、注意してください

【力学の該当分野】(文系)

力積と運動量・運動量保存則

円運動

単振動

万有引力、ケプラーの法則

これらは理系の高2の1学期で学ぶ範囲です。高1の物理基礎(文理に分かれる前)で力学的エネルギー保存則までやると思うので、文系の生徒は上の4つのトピックをSAT Subject Test対策本(Barron’s, Princeton Reviewなど)または理系の物理の教科書・参考書で練習しましょう。練習の際は、参考書の「基本問題」までで大丈夫です。日本語の参考書を使うなら、『物理のエッセンス』(河合塾シリーズ)もかなりオススメです。実際、物理のエッセンスとほとんど同じの問題が沢山出ていました。

【電磁気】(文系、または高2の理系)

多くの海外受験生は、SAT Subject Testを高2の秋から受け始めると思います。よって、高2の秋時点では、理系の生徒でも、塾などで先取りをしていない限り、電磁気の多くが未習分野となります。これもまた上と同じで、SAT Subject Test対策本(Barron’s, Princeton Reviewなど)または理系の物理の教科書・参考書(物理のエッセンスなど)で練習しましょう。練習の際は、参考書の「基本問題」までで大丈夫です。

【波動】(文系、理系※一部の分野)

理系だと、波動は高2の夏休み後に学ぶと思います。光関係(レンズ、反射・屈折など)と音関係(ドップラー効果など)が同じぐらい出る印象です。このあたりは実験が結構出るので、有名な実験とその結果の意味(ヤングの干渉実験など)を把握しておきましょう。対策方法は上と同じです。

【熱力学】(文系、または高2の理系)

これは電磁気と同じで、理系の生徒でも熱力学は高3の前の春に始まるので、高2の秋時点で受験する場合は、塾などで先取りをしていない限り、熱力学の多くが未習分野となります。また、エントロピーの増大についての簡単な問題・考察が出るので、日本ではあまり扱われないですが、把握しておきましょう。対策方法は上と同じです。

【現代物理学・電子・原子】(文系、または高2の理系)

これは熱力学と同じで、理系の生徒でも現代物理学は高3の前の春に始まるので、高2の秋時点で受験する場合は、塾などで先取りをしていない限り、現代物理学の多くが未習分野となります。対策方法は上と同じです。

【Miscellaneous・その他】(文系、理系)

この分野が一番対策が面倒かもしれません。Miscellaneousの部類の問題は、ある法則を生み出した科学者の名前や、発見された年代などの知識問題です。Barron’sの本の後ろの方に暗記すべき知識が全部乗っているので、思い切って全部覚えましょう。試験全体の4-9%がこの分野の問題となります。

【難易度】

問題数:75問

制限時間:1時間

800点満点のボーダー:試験日によって変わりますが、大体75問中60問以上正解したら800点に換算されます。

理系・物理選択の場合:学校で使っている問題集の基本問題程度なので、そこまで心配する必要はないです。学校の授業で入試問題を解くかもしれませんが、そこで使っている道具を一つ一つ聞かれている感じです。理系・物理選択の場合、SAT Subject Testの中で最も満点が取りやすい試験であると思います。逆に、上位校の自然科学・工学専攻の受験生のほとんどはMath 2とPhysicsで満点近くを取ってくるので、ケアレスミスをしないように注意しましょう。

文系・物理基礎選択の場合:物理基礎をやっている場合、ある程度物理に慣れていると思うので、そこまで難しくないと感じられると思います。アメリカの大学で文系の専攻を希望している場合でも、Physicsで高得点を取っていれば、自分が文系・理系関係なく勉強ができるという風にAdmissions Officerに取られます。特に、文系・理系関係なく勉強するというのがモットーであるLiberal Arts Collegeを受験する際に、多少有利になるかもしれません。

文系・物理選択以外の場合:最後に物理をやったのが高1の場合は、少し慣れるまで時間がかかるかもしれませんが、文系の受験生にもPhysicsはかなりオススメです。実際、文系の方でも公式を暗記しただけでかなりの高得点を取れたケースも聞いたことがあります。1から学ぶ場合は、Barron’sなどのアメリカの対策本から直接行くのも悪くないかもしれません。その方が、SAT Physicsの多少独特な出題の仕方に慣れることができる上、最初から物理を英語で理解し、英語で学び直す必要がないからです。

【問題の傾向】

物理は本来暗記科目ではありませんので、本当は時間をかけて現象を理解する方が長期的に見れば望ましいですが、時間がない場合、公式暗記でもそこそこの点数が取れます(もちろん、せっかく暗記した公式の意味を分かっていなければ、忘れやすくなりますが…)。問題は、日本の二次の入試問題みたいに長くなく、問題集の基本問題が一杯ランダムに並べられている感じです。ただ、最近は本質的な理解をしていないと素早く解けない問題が増えています。逆に、このような種類の問題の背景を理解していれば、数秒で即答できます。また、グラフの問題も出る時もあります。これは、センター試験の物理の最初の方の問題とかなり似ています。これもまた本質的な理解の確認の場合が多いです。

もしも高2以下であり、時間の余裕があれば、自分の授業ノートの単語の上にその物理用語に対応する英訳をメモっておくと、問題をかなりすんなりと理解できると思います。もしもこのようなことをやって来てなくても、問題を解いているうちに自然と英語の物理用語が身につきますが、英語でまとめノートを作るのも一つの手です。

【例題】

Which of the graphs best represents the kinetic energy K of an elementary particle as a function of its speed v, where c is the speed of light? (College BoardのSample Questionsより)

訳:素粒子の運動エネルギーKと素粒子の速度vの関係を表しているグラフとして最も適当なものを、下の(A) ~ (E)のうちから一つ選べ。ただし、cは光速である。

答えは選択肢(B)ですね。運動エネルギーK = \frac{1}{2}mv^2なので、v<<cの場合に注目すると、選択肢(A), (C)ではv=0K=0でないので明らかに違うと分かると思います。選択肢(D)のグラフは直線なので、K = \frac{1}{2}mv^2であることに反します。また、特殊相対性理論によると光速を越えることは不可能なので、選択肢(D)と(E)を消去することができます。

余談:もう少し厳密に言うと、ある物体の運動エネルギーは仕事と運動エネルギーの関係より、K=mc^2-m_0 c^2と、エネルギーの総和と静止エネルギーの差として書くことができます。ここで、m = \gamma m_0で、\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}はローレンツ因子です。これらを用いて、K = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0 c^2と書くことができ、選択肢(B)のグラフの概形が分かると思います。v<<cの時、この式をテイラー展開して一次近似をすると、K \approx \frac{1}{2}m_0v^2と言う中々面白い結果が出てきます。

【最後に】

Math 2などと同様、Physicsを受験する人はかなり多いです。最難関私立大学、または上位州立大学で自然科学・工学系専攻を目指す場合は、出来る限り満点を目指しましょう!Physicsを受験している人の中には恐らくAP Physicsなどを履修している人も多く、比較的満点が狙いやすい科目です。以下の写真で分かる通り、800点は87th percentileで、受験者の13%が満点を取得したということになります:

ちなみに、これは2018年に受験した時の結果で、その後少し傾向が変わったという噂も聞きましたが、点数の内訳(+満点を取得する人の割合)はそこまで変わってないと思います。

Physicsは本当にオススメですが、迷っている人は一回College Boardが出している例題を解いてみましょう:

https://collegereadiness.collegeboard.org/sat-subject-tests/subjects/science/physics/sample-questions/1

【受験生応援企画!】1〜3月編

じょうもん:


・奨学金申請
1月は全ての出願が終わった後、奨学金の申請に取り組みました。大学に奨学金を申請する場合、いくつか書類が必要となります。大学によってISFAA、COF、独自の書類、と提出するものが異なるので、大学のページで早めに見ておくのが鍵。ほとんどの大学が奨学金取得生徒の割合や平均取得額、さらには自分の家庭状況を入力し奨学金の額を予測してくれるページまで掲載しているので、経済的負担が大学進学の大きな要である人は是非活用してください。申請の際は、親の所得、課税証明書、銀行からの証明書など、取得にいくらか時間のかかる物も多いので、早めに確認して各方面にお願いすることをお勧めします。特に書類が日本語で発行される場合は、翻訳を頼むか自分で新しくコピーを作成しなければならないので注意が必要です。書類の記入は大抵分かりやすいかと思いますが、記入漏れやミスにはくれぐれも気をつけてください。また、日本からアメリカ大学に進学する場合、外部組織から奨学金を取得する機会も存在します。例を挙げると、柳井財団、グルーバンクロフト基金、江副財団など。大学に奨学金を申請すると合格確率が下がる、とはよく言われることですが、これら外部の奨学金を獲得するにも年々倍率は上がっていると聞くので、それぞれのリスクをよく検討するべきだと思います。質問があったら是非質問箱よりお気軽にどうぞ!

05410n:

もう終わりだー!!!ってなってパーティータイムに入った同級生が多かったですね。学校のテストの平均点とかもちょっと下がってきてた気が。。。とはいっても私は変わらず学業めちゃくちゃ頑張っていましたね。APの授業を三つ取っていたので、五月の試験に向けて勉強をしていました。あとは学校の春のミュージカルの準備(私は裏方)に時間をかけていました。実を言うと、三月末(大学の合否発表の時期)くらいまでは大学のことはほとんど気にしていなかった、というか忘れていました。

**APの授業について:

私の学校ではAPの授業がたくさんあって、私は高校四年間を通して八つとりました。ですが、APの授業を取ると必ず五月末にある試験を受けなければならない、というルールがあったため、大学が決まっても試験からは逃れられません。。。だけど学校の試験ではなく、外部の会社の試験なので結果が帰ってくるのが夏の間なので、このAP試験の結果は授業の成績とはまったく関係ないんです。だから試験はもういいや〜と言って勉強しない人もちらほらいましたが、いい点数を取ると大学での単位にカウントされるので私を含め、ほとんどの人は結構勉強していました。

【受験生応援企画!】12月編

じょうもん:
・エッセイエッセイエッセイ
12月はひたすらエッセイに力を注ぎました!理由は単純、学校にいる間はあまり大学について考えられなかったからです。特に学校ごとに提出するサプリメントエッセイは12月中旬から始めたと言っても過言ではありません。(これは悪いお手本です。真似はしないでください。ただ、読者の中に冬休みに入ってからサプリメントどうしようううと頭を抱える人がいた場合に安心してもらうために一応書いておきます。)さてエッセイですが、まず大事なのは自己分析。この辺は夏休み編に詳しく書いてあります、参考までに。それからやはり、自分を全人的に捉えられるような内容にすること。これに加えてよく言われるのが、副詞や形容詞を使わず、なるべく具体的な表現で自分の置かれた状況が伝わりやすいようにすることです。これは分かりにくいかもしれませんが、例えを言うなら「私はたくさん勉強した」と言う代わりに「私は毎日3時間机に向かい、1週間の終わりにはペンだこができた」と言うと….どうでしょう、少し場面が想像しやすくなり、あなた自身について分かりやすくなったと思いませんか?これを意識して書き上げた後は一番重要なポイント、添削。1回目で書いたものは渾身の力作で完璧だ、と思ってしまうかもしれませんが、そう思った時ほど、一日時間を置いて見返してみてください。細かな文法ミスや、表現が変だな、と感じるところが必ず見つかります。そして何より。色んな人にエッセイを読んでもらってください。自分では当たり前だと感じていた表現が実は分かりにい、この内容はこう書いたらもっと伝わりやすくなるんじゃない、ここの段落の繋がりが少し急だよ、などなど、客観的な第三者の視点だからこそ見えてくる部分があると思います。自分についてしっかり伝えられているか見てもらうのにはよくお世話になっている先輩、全体的なまとまりを見てもらうには大人、など、様々な立場の人に見てもらうことが個人的にはとても役立ちました。また、添削してもらうごとに真に受けて全て直すのではなく、見てもらった人ごとにドキュメントを作り、気に入った部分をつまみ食いするのも一つの手です。結局は自分のエッセイ、後悔しないように最後まで手を抜かないで頑張ってください!

05410n:

12月は学校の期末があったので最初の二週間はそれに向けてずっと勉強していました。12年生の最初の一学期の成績も大学に送るGPAにカウントされるので、ここで失敗したら本当にやばい、と結構焦っていた記憶が。。。Supplement Essaysは12/26-12/28のほぼ三日間を書けてひたすら書いていました。この三日間は家からも出ず、ひたすらパソコンと向き合っていました。学校が冬休みに入ってちょっとだらだらしていたらいつのまにかクリスマスになっていました。。。そして12/29からスキー旅行に出かけるからそれまでには終わらせなくてはいけなかったので、結構やばかった。。。でも短期間で「全集中」をするほうが私には効率がよかったと思います。もちろんもっと早くから下書きとかを書いていればこんな事態にはならなかったんですけれども、なんやかんやで結構いいエッセイがかけて、嬉しかったです。なんか終わった瞬間に「もしかして私は思ったよりエッセイ書くのが上手なのでは・・・・」と感じましたね。笑。でも一つだけハプニングがあって、スキー場について各学校のポータルを確認したら一校だけ私の学校の成績などの報告書を受けてっていない学校があってめちゃくちゃ焦りました。急いでカウンセラーに連絡したら、報告書はちゃんと送ったよ〜ただ時間がかかるだけだと思うから心配しなくていいよ〜と言われました。

【受験生応援企画!】11月編

じょうもん:

・大学決定
私は国際バカロレア(IB)というカリキュラムを受講しており、この頃にPredicted Gradesという大学出願時に提出されるための成績が発表されます。このスコアは大学合格を決定づける大事な要素の一つであるため、自分のスコアが分かるとともに受ける学校を正式に決定しました。学校の先生からは、「SATやTOEFLの点数は一発勝負だから仕方がないところがあるけれど、成績は2年間の積み重ねだからその人の本当の成長が見える。だからどちらかを優先しなければいけない時は学校の成績に重きを置いた方が良いよ」ということをよく言われていました。この言葉の真理は分かりませんが、SATの点数がたとえ悪くても決して悲観的になることはない、というのは事実だと思います。それに加えて、「最初の頃は成績が悪くても右肩上がりの線を描くカーブになっていれば問題ない」ということもよく耳にしました。大体どれくらいの成績であれば合格可能性があるのか、ということが気になる人は、是非Nicheというウェブサイトを参考にしてみてください。SATと成績の両方を元に過去の統計を投影してくれます。スコアの範囲が分かるだけでなく、SATを重視しているか(成績が悪くてもSATが良ければ合格している人が多い)等学校による細かな違いも読み取ることができるため、自分にチャンスのありそうな大学を絞り込むことができます。一つアドバイスできるとしたら、色んな大学を混ぜておけ、ということでしょうか。自分がこんな大学に行きたい、と思って似たような系統の大学ばかりに出願していたとしても、その系統の大学があなたのことを気に入ってくれる保証はないのが実情です。そこで、総合大学/リベラルアーツ、都会/田舎、大規模/小規模など、色んな大学の要素を組み合わせたリストが理想だと思います。もちろん自分が行きたい大学に受かることがベストですが、食わず嫌いはせず、敢えて違うカラーの大学にも手を伸ばしてみてください。オファーをもらって初めて調べてみたら、案外相性が良さそうだということに気づくかもしれませんよ。アメリカの大学受験は正直何が起こるか全く予測できないので、とにかく可能性と視野はオープンに向き合ってみてください。

秋櫻:

私の11月は、本命大学のアプリケーションをEarly Decisionで提出した直後に始まりました。とりあえずは大学出願の第一波が終わり、一息ついたところでしょうか。私も縄文人と同じくIB校に通っていたのですが、11月は14日にChemistry SLのIAの最終提出、19日にPhysics HLのIAドラフト提出、そして30日にMaths HLのIAドラフト提出と、IB関連の提出が続いたので、大学関連の提出までなかなか手が回りませんでした。

・Regular Decisionの出願校の決定
しかし、そんな忙しい期間中にも進路指導のカウンセラーと何度か会い、自分で調べながら1月のRegular Decisionおよびイギリスとカナダの出願期限に向け受ける学校を絞っていきました。この頃にはIBのEstimated Gradeは各クラス出ていましたが、そもそもIBの成績と言うのはかなり曖昧(例えば6と7の違いは?etc)な為、あまり自分の成績のことは考えず自分が行きたいと思う学校を選んでいきました。また、私の場合は大学では機械工学をやりたいが、そのほかの文系の授業も取りたい、と言う気持ちがあったので、専攻にあまり縛られず、また文理両方そこそこ、と言う条件を第一に考えて調べていくと、自ずと選択肢は狭まっていきました。大学選びは、何千とある学校の中から出願する十数校を選ばないといけないので、自分の好みの条件で絞っていくと割と楽ですし、モチベーションも上がります。ただ、立地や学校の大きさなどの表面的な条件で絞っていくのはお勧めできません。大学で最終的に学校生活に一番大きな影響を与えるのは学校の校風や生徒の雰囲気など、数字では表せないことなので、しっかりとリサーチをすることが大切だと思います。

05410n:

11月に入ってようやくSupplement Essaysをガチでやり始めました。といっても、Early Actionの学校と、11月末の締め切りがあるUCの学校だけでしたけど。笑。Common App と同じ感じで、暇な時間に下書きを色々書いて、それを全部整理して、どれが一番いいのか、とかを友達や学校のインターンと相談して、締め切り割とギリギリで終わらせました。Regular Decisionで出願する大学もこの時期に決めましたね。夏の間に大体ここかな、と決めていて、11月末ごろに学校のカウンセラーに「この8校に出願します」と報告しに行きました。結構色々なことを締め切りギリギリにやってしまいましたが、全部締め切りまでには終わりましたし、自分で納得のできるクオリティのものだったので、特に「もっと早くやっていればー」と思ったことはないです。(といってもこれは絶対人それぞれなので、自分の性格にあったスケジュールを立てておくと良いと思います)

【受験生応援企画!】SAT Subject Test: Mathematics Level 2 (Math 2)

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今回は、SAT Subject TestのMathematics Level 2 (Math 2)の範囲・対策方法を話したいと思います!

試験範囲・対策

Math 2の試験範囲は基本的に中高で習った数学(数学IA, IIB)と同じです。しかし、以下に示している通り、一部理系しか習わない範囲(数III)または日本の中高では扱わないものもありますので、対策を書いておきました。括弧内に、その範囲を学校で習わない生徒の区分(文理)を書いています。

複素数(文系):複素数と言っても、数IIで扱う式を整理するだけの問題が多いので、あまり心配はしなくて良いです。ただし、複素数を複素数平面で表す問題もあるので、文系の生徒は数IIIの教科書を読んでみることをお勧めします。

行列(文系、理系):これは現時点では数IIIでも扱わないので、文系・理系どちらも練習する必要があります。しかし、計算は簡単で、行列同士の足し算、引き算、掛け算、行列式の求め方などを分かっていれば基本的に大丈夫です。後は、計算機を使って行列で連立方程式を解く問題もあるので、計算機の機能(特に簡約化:rref())を確認しましょう。大学の線形代数のレベルは要求されません。Barron’sかネットで練習問題を探して、解きましょう。

極限(文系):数IIBでは数列の個数がある値で止まっていましたが、ここでは例えばN\to\infty とすると(\iff項数Nを無限大まで飛ばした場合)どうなるか?という話です。式変形のパターンを押さえれば大丈夫なので、数IIIの教科書またはチャート式の練習問題を解きましょう。

級数(文系):無限等比級数の和が聞かれる時があります。これは、極限を分かっていればすんなりと理解できます。要するに、数IIBの等比数列の和で、公比rを無限大まで飛ばしたらどうなるか(有限値に収束するか、発散するか)という話だけなので、すぐ終わります。これもまた数IIIの教科書またはチャート式の練習問題を解きましょう。

逆三角関数(文系・理系):これはかなり重要です。なぜかというと直接逆三角関数を聞いてくる問題は少ないですが、色んな図形問題に盛り込んであるからです。大雑把に言うと、\sin{\theta}, \cos{\theta}などが綺麗な値(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2}など)でない時に、どう言う風に角度\thetaを求めるかと言う話です。これは、SAT Math 2の対策本(Barron’sなど)またはネットで練習問題を探して、練習しましょう。

区分的、(再帰的、媒介変数表示された関数など)(文系):関数の極限がその点で存在して、そこで連続かどうか、と言う問題です。また、二次曲線(楕円、双曲線)の媒介変数表示が時々出るので、数IIIの教科書、チャート式の練習問題を解きましょう。

放物線※、楕円、双曲線(文系):数IIIで扱いますが、式の形や式変形に関しては円の方程式の場合とそこまで変わりません(中心求める為に平方完成する、など)。後は、楕円が縦長か横長か、双曲線の漸近線は何か、などを分かれば大丈夫です。数IIIの教科書、チャート式などの練習問題を解きましょう。

※放物線は全員が中学で扱うと思いますが、数IIIで習う y^2 = 4px の標準形で出題され、Math 2では焦点と準線の知識も必要です。

極座標(文系):点を(x,y) ではなく、動径rと偏角\thetaで座標を表す座標系です。(r,\theta)から(x,y) を行ったり来たりできれば基本的には大丈夫です。数IIIの教科書、チャート式の練習問題を解きましょう。

グラフとプロット、最小二乗回帰(文系、理系):表でxf(x)の値が与えられ、それを元に近似曲線を求める問題が頻出です(例えば、物体のx座標と高さが与えられて、計算機に入れると放物線になっていて、その運動の軌跡を求めると言う問題)。これは計算機がないと早く解けないので、各データのプロットの仕方、そして近似曲線の求め方を練習しておきましょう。やり方は計算機のモデルによるので、説明書を読むか、解説動画を探しましょう。

…という訳で、色々勉強する量が多いように見えるかもしれませんが、サラッとやるなら数日、練習問題や例題を全て解いてガッツリやっても(合計でも)数週間で終わると思います。自分が文系で範囲を習っていないからMath 2受けたくない、と思うかもしれませんが、過去の先輩の多くは最低1回はMath 2を受けています。

例題

【例題1】The number of hours of daylight, d, in Hartsville can be modeled by d=\frac{35}{3}+\frac{7}{3}\sin(\frac{2\pi}{365}t) , where t is the number of days after March 21. The day with the greatest number of hours of daylight has how many more daylight hours than May 1? (March and May have 31 days each. April and June have 30 days each.) (College BoardのSample Questionsより)

(A) 0.8 hr

(B) 1.5 hr

(C) 2.3 hr

(D) 3.0 hr

(E) 4.7 hr

答えは選択肢(A)ですね。まず、太陽が出てる時間が一番長い日t_Mを求めましょう。関数を見ると、d\sin(\frac{2\pi}{365}t)=1すなわちt=91.25 days の時に最大値を取ることが分かります。もちろん厳密に言うと周期関数なのでこの時刻だけではないですが、今回はd_{max}を求めているのでt_M=91.25 daysで計算しても大丈夫です。ここで、問題文に”the day”と書かれていることよりd\in\mathbb{N}なのでt_M=91?, 92? daysとなりますが、t_M=91 days の時の方がdが大きいことはすぐ分かると思います(計算して確認してもOK)。よって、求めるべき\Delta d = d(t=91)-d(t=41)=0.81984\approx 0.8という結果になります。雰囲気的にSAT Reasoningの方のMathとそこまで変わらないところが印象的です。

【例題2】What is the measure of one of the larger angles of a parallelogram in the xy-plane that has vertices with coordinates (2,1), (5,1), (3,5), and (6,5)?(College BoardのSample Questionsより。選択肢は省略。)

これもまた普通のSAT Mathに出てきそうな問題です。本当にただの図形問題で、強いて言えば計算機を使用しない日本の高校数学ではあまり登場しない三角関数の逆関数を使えるかがポイントになるでしょう。解法は色々あります。一番単純なのは実際図形をxy平面で書いてみて、頂点3つを使って三角形を作り、余弦定理を用いる方法ではないでしょうか。例えば、(2,1), (3,5), (6,5)からなる三角形を選び、求めるべき角度を\varphiと置くと、余弦定理より\cos\varphi = \frac{17+9-32}{2\sqrt{17}\cdot 3}=-\frac{1}{\sqrt{17}}を得ます。ここで逆三角関数を用いて\varphi = \arccos({-\frac{1}{\sqrt{17}}})\approx 104^{\circ}と答えが出ます。

【例題3】

x-9.8-0.95.28.8
y0.122.4318.4668.4

Which of the following equations best models the data in the table above? (College BoardのSample Questionsより)

(A) y = -3.3(1.4)^x

(B) y = -1.4(3.3)^x

(C) y = 1.4(3.3)^x

(D) y = 3.3(1.4)^x

(E) y = 1.4x^{3.3}

既にSAT対策を始められている方なら分かると思いますが、問題の内容自体は簡単なのに、最初のうちは計算機の機能がよく分からない為このような問題で引っ掛かることがあったりすると思います。しかし、SATのMath 2では必ずと言って良いほど回帰曲線を求める問題が出題されるので、使い方に慣れることが大事です。計算機のモデルにもよりますが、一般的には表の値を計算機のスプレッドシートに入れ、”◯◯Regression”を選びます。今回はExponential Regression(指数回帰)が良さそうなので、それを選んで一番近い選択肢を探します(今回は選択肢(D))。回帰機能が付いている計算機を購入するのが一番良いですが、一応高度な関数電卓を持っていなくても問題は解けます。例えば、今回はxが増えるにつれyも増加しているので、まず負の係数が付いている(A), (B)を候補から外せます。ここで残った候補を計算機で合うか試して答えを出すことも可能です。

難易度

問題の難易度に関しては、そこまで難しくなくて、思考力を試す問題(日本の大学入試の二次試験の問題)よりかは、計算問題の方が多い印象です。試験時間は1時間で、問題は全部で50問ありますので、一問につき1分以内で解き、残りの10分はマークシートへの記入・見直しの時間に回せると楽です。

試験の難易度や受験者の出来具合にもよりますが、大体50問中45問以上正解していれば、800点(満点)に換算されますので、特に日本の受験者からすれば高得点を出し易い科目です。逆に、ケアレスミスをすると、素点から-0.25点減点され、周りと差がつき始めてしまいます。最難関私立大学、または上位州立大学で自然科学・工学系専攻を目指す場合は、出来る限り満点(近く)を目指しましょう。以下の写真は僕が実際に受けた時の結果ですが、800点でも79th percentileであり、21%の受験者は満点を取得していたということが分かると思います。

Math 2を受けるかどうか迷っているなら、一回College Boardの例題を解いて見ましょう:

https://collegereadiness.collegeboard.org/sat-subject-tests/subjects/mathematics/mathematics-2/sample-questions/1

とりあえず、Math 2の範囲と対策方法でした!これからSAT Subject Testシリーズでどんどん出して行くので、見て頂ければ嬉しいです。